MECHANISM OF THE SHORT PERIOD 160-MIN. RADIAL PULSATIONS OF SUN

 

 

Ivan T. Ivanov(1), Valentina T. Taneva(2) and Boris Komitov(3)

 

 

(1) Department of Physics and Biophysics, Medical Institute, Thracian University, 6000 Stara Zagora;

(2) Institute of Applied Physics, Technical University of Sofia

(3) Institute of Astronomy, Bulgarian Academy of Sciences, 6000, Stara Zagora, P.O. Box 179

 

 

Scientific conference with international participation. Stara Zagora. 2005. Proceedings, vol. 1, Technical sciencies, Chemistry and Physics. pp. 300 - 304

 

 

 Summary. The visible diameter of Sun oscillates with a period of 160 min. The same type of periodicity is also found in a huge number of solar radiation parameters. To elucidate the origin of these longitudinal radial pulsations we have used the equation for the equilibrium of inner layers which, after linearization, turned into the harmonic oscillator equation. The latter equation allows radial pulsations. The period and wave length of these radial pulsations were calculated using regression expressions for the gas pressure and density in various layers. The radial pulsations originate at the surface of the active zone and propagate til the lithosphere, where they undergo full inner reflection producing under surface stationary waves with a period of about 150 min.

 

Key words: Sun; 160 min radial pulsations; mechanical waves; balance equation

 

INTRODUCTION. Ever since the discovery of the 160-min radial pulsations of the Sun ample data have been collected suggesting their impact on the solar physics [1,2]. 160-min oscillations are observed in the intensity of light, radio and infrared radiation emitted from the resting regions of the Sun [3]. The pulsations observed in the radio brightness lag behind the cyclic radial movements by about 12 min [3]. A 0.02% variation in the intensity of the 1.65 mm infrared solar radiation is detected with a 160-min period [4]. Oscillations with the same period are established in the circular polarized radio emission of Sun at 13.5 mm, which lag behind the oscillations of the radiant velocity by 34 minutes [5].

      These observations could not be explained as pure atmospheric effects [6]. The radiant pulsations of Sun have been unsuccessfully related to the particularities of the radiant energy transfer [7], to the possible interference between the Sun gravity modes [8] or even to the possible existence of a particular object orbiting the Sun centre at appr. 20 000 km under the surface of the Sun [9]. Thus at present there is no commonly accepted theory that could explain the radiant pulsations of the Sun. In this paper we offer a model based on the linearization of the Sun status equations. This model represents the radiant oscillations as staying waves generated on the surface of the active zone and propagating to the surface of the Sun where they have a period of about 160 minutes.

 

DESCRIPTION OF THE MODEL. The equilibrium status of the star core is usually found as a solution of the system of basic equations describing the star physics.  For the Sun, several solutions are obtained which give the equlibrium values of the pressure, P, temperature, T, etc as functions of the distance r from the solar centre. These functions are averaged in the summarised model [10] which will be used further.

       The status of the Sun intestine is a stable equilibrium. If a thin concentric layer inside the Sun is displaced from its equilibrium distance ro from the centre of gravity, it will commence to oscillate.  What will be the frequency of these oscillations? The equation that describes the movement of the layer is   

                                                                                 

               -r.(∂ 2r/∂ t2)   =   ∂P/∂r   +  ρ.G.m / r2                             (1)

 

where m is the mass of the gas placed under the layer. Let this layer be shifted from a place with distance ro to a place with a distance ro + r.  Since r <<ro, the pressure gradient will change as given by

 

            ∂P/∂r   =  (∂P/∂r)r=ro   +   (2P/∂r2) r= ro . r   +  o(r2 )                             (2)

 

 

    The gravity force attracting the layer to the centre of Sun will also change according to the variations in the distance r

 

              1 / r2       =    1 / ro 2 .(1  - 2 r/ ro)   +    o[(∆r/ ro)2]                                        (3)

 

       Let us combine the equations (2) and (3) with the equation (1). Inserting a new variable x = r/ro, a new equation will be obtained

 

            2x/∂ t2   +   ( 1/ρo.∂ 2P/∂ r2  –  2.G.m / ro3).x    =   1/ ro. ρo.(∂P/∂r)  - G.m / ro3         (4)

 

         The right side of the latter equation is equal to zero since a hydrostatic equilibrium holds at r = ro.  Equalizing the left side of the equation to zero a new equation will be obtained which resembles the harmonic oscillator relation. Thus, the respective frequency f of the adiabatic radiant oscillations will  be given by the formula

 

             f 2   =  1/ρ . (∂ 2P/∂ r2)   –  2.G.m / r3                                          (5)

 

        The period of oscillation of the layer will be T = 2 π /f. Once generated these oscillations will apparently subside down provided there is no source of energy for their rejuvenation.

    The above linearizations appear fairly correct since the visible diameter of the Sun is found to oscillate with an amplitude of only a few km and a radiant velocity of about several m/s. Similar pulsations are found for the variable stars however the corresponding parameters of pulsations are three orders of magnitude greater in respect to these of Sun. Nevertheless, similar linearization theory has been also applied for the variable stars giving oscillations with constant amplitude, frequency and phase at different distances from the star centre [11]. In contrast to the oscillations of variable stars, the oscillations that could occur within the Sun are very small and should be consequently allowed to have different amplitude, frequency and phase at different distances from the centre of Sun as given by the formula (5).

 

 RESULTS. According to formula (5) the period, T, of oscillation of different layers could be calculated using proper expressions for the dependences of P, ρ and m on the relative distance x = r/R¤ from the Sun centre. Using the model [10] and 16 cited values for each parameter, these expressions were obtained as regression formulae and are shown in Table I. For each parameter the correlation coefficient Kr, reliability factor F and probability weight factor Pw between the cited data and the calculated values demonstrate that the obtained expressions are fairly satisfactory.

 

 

    Table I. Regression formulae for the density p and gas pressure P within the Sun as functions of the relative distance

x = r/RO from its centre. m is the mass of solar gas beneath a concentric layer with a radius r. R  and M  are the Sun radius and mass, correspondingly. 

 

 

Regression formulae Kr           F Pw
m  =  Mо (2.84 x - 1.70 x2 - 0.06) 0.991 52.1 4.10
P  = exp (38.94 - 24.68 x3) 0.92

     6.08

0.0008
ρ  = exp (3.85 -17.36 x2) 0.942 8.28

   0.00015

 

 

            Allowing x to vary with a step of x = 0.01, a set of discrete values of T were calculated which are shown on plot (Fig.1). Based on the physical processes that occur within the various layers of the Sun, the solar astrophysics generally discriminate three zones within the Sun; an active core around the solar centre, intermedient zone of radiative energy transfer and outside convective zone. Interestingly, exactly three zones are clearly outlined on the given plot, too, further referred to as inner, middle and outside zones, respectively.

 

 

 

 Fig.1.  Period of radial pulsations within the Sun as a function of the relative distance x = r/RО from its centre. RО is the radius of the Sun.

 

 

Throughout the inner zone on the plot, where 0 <x< 0.38, the oscillations should be apparently impossible as f2 < 0 and the period of oscillations will be close to infinity. This zone appr. coincides with the active core of the Sun.

Within the middle zone on the plot in which 0.38 <x< 0.70, oscillations might occur with a nearly constant period of about 1000 s. This zone apparently coincides with the vast intermediate zone of Sun. At the interface boundary between the middle zone and the inner zone the period of pulsations sharply increased inclining to infinity (Fig.1). This is in accordance with the result that oscillations are not allowed within the inner or active core of Sun. This outcome indicates that any slow mechanical pulsation that might occur on the surface of the active zone could be transformed into a high frequency oscillation propagating into the next middle zone. Hence, the radial oscillations that might occur within the Sun could originate from this boundary. Such a conclusion is apprehensible since the surface of the active zone must be mechanically strongly unstable.

        The third zone, outlined on the plot, embraces the outside layer of the Sun between 0.70 <x< 1. It apparently coincides with the convective zone of the Sun. According to Fig.1, the period of pulsations, T, slowly increases from its inner to its outside border reaching the value of 8900 s (148 min) just on the Sun's surface. This value differs by about 8 % from the experimentally obtained value of 160 min. The striking coincidence between the calculated and measured values of solar pulsations substantiates the proposed model. The coincidence of the outlined zones with the actual physical layers within the Sun also supports the model.

        The minimal value of T, which is apparent at a relative distance of x = 0.6 could be explained as follows. When the relative distance, x, is large the negative term in the equation (5) is small and could be neglected. Hence, at larger x the frequency, f, depends mainly on ρ and P, that exercise opposite effects on f. With increasing the x, the ρ and P both decreased, the former parameter increasing and the latter decreasing f. Thus, at a distance x < 0.6 the effect of ρ predominates while at x>0.6 the effect of P is stronger and the frequency commences to go up. 

 

DISCUSSIONS. According to the proposed model, the pulsations of the Sun radius are brought about by a slight disturbance of the dynamic equilibrium of forces balancing the inner layers and could be described by the mechanism of the harmonic oscillator. The energy source generating the oscillations and maintaining their amplitude constant is possibly found at the boundary between the active and the intermediate zones. Once generated, the oscillations should further propagate towards the Sun surface with the velocity "C" of the sound. This velocity could be calculated using the formula C = (P/ρ)1/2  and the expressions for the P, and р as given in Table I. We have calculated the velocity C and the wave length λ = T.C of these mechanical pulsations as a function of the distance x form the centre of Sun. Surprisingly λ was nearly constant for both the intermediate and convective zones (data not shown).

       When the radial oscillations reach the Solar atmosphere (the chromosphere), they should sustain a complete backward reflection without change in phase as suggested by the strong fulfilment of the respective mandatory condition λ > 4πH. Here H is the depth of the solar atmosphere. As the wave length is practically constant within a broad segment under the visible surface of Sun, the formation of staying mechanical wave should be allowed deep under the chromosphere. These oscillations have the capacity to impact a huge number of physical phenomena close to the surface of Sun introducing a variable component with the same 160 min periodicity in the observed parameters of Sun.

 

 References

 

    1.     Severny A. B., V. A. Kotov, T. T. Tsap. Nature (1976) Observations of solar pulsations. № 5539, v. 259, pp. 87-89

    2.     Scherrer P. H., J. M. Wilson (1983) Structure of the solar oscillations with period near 160 - minutes. Solar Phys., v.82, pp. 37-42

    3.     Kotov V. A., A. B. Severny, T. T. Tsap, I. G. Moiseev, V. A. Efanov, H. S. Nesterov. (1983) Manifestation of the 160-min solar oscillations in velocity and brightness (optical and radio observations).    Solar Physics, v. 82 pp. 9-19

    4.     Kotov V.A., S. Kouchmy, G. Kouchmy (1983) Observation of global 160 -min infrared (differential) intensity variation of the Sun. Solar Physics, v. 82, pp. 21-35

    5.     Efanov V. A., V. A. Kotov, I. G. Moiseev, N. S. Nesterov, A. B. Severny (1983) Reports of Krim astrophysical observatory, v. 67, pp. 111-118

    6.     Hill H. A., T. J. Boss, T. P. Candel (1983) On the origin of oscillations in a solar diameter observed through the Barth`s atmosphere: a terrestrial atmospheric or a solar phemomenon.  Solar Phisics, v. 82, pp. 129 - 138

    7.     Christensen - Dalsgaard J., S. Frandsen (1983) Radiative transfer and oscillations of the Sun. Solar Physics, v. 82, pp. 165-204

    8.     Dsiombovsky W. (1983) Resonant coupling between solar gravity modes. Solar Physics, v. 82, pp. 253-266

    9.     Blinnikov S. I., M. Yu. Khlopov (1983) Excitation of the solar oscillations by objects consisting of y-matter. Solar Physics, v. 82, pp. 383-385

    10. Allen C. W. (1973) Astrophysical Quantities. University of London. The Athlon Press.

    11. Cox J. P. In: Theory of stellar pulsations. Princeton, New Jersy, Princeton University Press, 1980

 

                                  

 

МЕХАНИЗЪМ НА 160-мин. РАДИАЛНИ ПУЛСАЦИИ НА СЛЪНЦЕТО

 

Иван Т. Иванов(1), Валентина Т. Танева (2), Борис Комитов (3)

 

(1)Катедра Физика и Биофизика, Медицински факултет на Тракийски университет, Стара Загора

(2)Институт по приложна физика, Технически Университет-София

(3) Институт за космични изследвания, ЦЛКИ към БАН, Стара Загора

 

Научна конференция с международно участие. Стара Загора. 2005. Том 1, технически науки, Химия и Физика. с. 300 - 304.

 

РЕЗЮМЕ. Видимият диаметър на Слънцето трепти с период 160 минути. Същата периодичност е установена в много параметри на слънчевото излъчване. За обяснение на тези надлъжни радиални пулсации, използвахме уравнението за състояние на слънчевите недра, което след линеаризиране се превръща в уравнение на хармоничния осцилатор. Това уравнение позволява радиални пулсации, чийто период на трептене и дължина на вълната бяха пресметнати, използвайки регресионни изрази за газовото налягане и плътност за различните слоеве. Пулсациите започват от повърхността на активната зона и се разпространяват до литосферата, където търпят пълно вътрешно отражение, образувайки стоящи вълни под слънчевата повърхност с период около 150 мин.

 

Ключови думи:  Слънце; 160-мин радиални пулсации; механични вълни; уравнение за състояние.

 

УВОД. След откриването на 160-мин. радиални колебания на Слънцето до днес са установени многочислени данни за тяхното влияние върху слънчевата физика [1,2]. 160 - мин. пулсации се наблюдават в амплитудата на радио- и инфрачервеното излъчване от спокойните участъци на Слънцето, а също и в излъчването в оптичната област [3]. Наблюдаваните колебания в радиояркостта на Слънцето с период 160 мин закъсняват спрямо 160 - мин радиални движения с около 12 мин [3]. В [4] се съобщава за наблюдение на 160-мин вариации в диференциалната интензивност на ИЧ - лъчението при 1.65 nm с амплитуда около 0.02 % от средната интензивност. Установени са и 160 -мин вариации в кръговополяризираното радиоизлъчване на Слънцето при 13.5 mm с амплитуда 0.003 % от средната, които закъсняват с около 34 мин спрямо колебанията на лъчевата скорост [5].

            Тези наблюдения не могат да се обяснят с ефекти, свързани със земната атмосфера [6]. Все още липсва общоприета теория за произхода на радиалните колебания на Слънцето. Правени са опити те да се обяснят чрез особеностите на радиалния пренос на енергия [7], на основата на нелинейни ефекти - резонансна връзка между слънчевите гравитационни модове [8] и даже чрез допускане съществуването на специална у-планета, обикаляща на 20 000 km под Слънчевата повърхност [9]. По-долу ние предлагаме модел, основан на линеаризиране на уравненията за състоянието на Слънцето и представящ радиалните колебания като стоящи вълни, генерирани от повърхността на активната зона и отразяващи се от слънчевата повърхност, където те имат период 160 - мин.

 

ОПИСАНИЕ НА МЕХАНИЗМА. Равновестното състояние на звездните недра се намира като решение на система от основни уравнения, описващи физичните процеси и състоянието на звездната плазма. Известни са няколко решения на тази система, които дават равновестните стойности на налягането Р, плътността r, температурата Т и др., като функция на отстоянието от центъра на Слънцето r. Тези решения са осреднени в обобщения модел [10], който ще използваме по-нататък.

            Състоянието на недрата на Слънцето представлява устойчиво равновесие. Ако тънък сферичен слой, намиращ се на разтояние r от центъра на Слънцето бъде изместен от своето равновесно положение, ще възникне затихващо трептене. Нека пресметнем честотата на този колебателен процес. Уравнението за движение на този слой ще бъде

 

                        -r.(∂ 2r/∂ t2) = ∂P/∂r    +  ρ.G.m / r2                                                  (1)

 

 където m е масата на веществото, намиращо се под слоя. Нека този слой е изместен адиабатно от равновесното си положение r. Ако отместването Dr е пренебрежимо малко спрямо r, изменението на градиента на налягането ще бъде

 

                 ∂P/∂r  = (∂P/∂r)r=ro  +   (2P/∂r2) r= ro . r +  o (r2 )                             (2)

 

    Поради промяната на отстоянието от центъра, силата на тежестта също ще се измени съгласно уравнението

 

                 1 / r =  1 / ro 2 . (1  - 2 r/ ro)   +    o [(∆r/ ro)2]                                        (3)

 

Заместваме уравненията (2) и (3) в (1) и след въвеждане на нова променлива x = r/ro получаваме:

 

            2x/∂ t2 + ( 1/ρo. ∂ 2P/∂ r2 – 2.G.m / ro3).x  =  1/ ro.ρo.(∂P/∂r)  - G.m / ro3         (4)

 

Дясната страна на това уравнение е равна на нула поради наличието на хидростатично равновесие при r0 и приравнявайки на нула лявата страна, получаваме известното уравнение на хармоничния осцилатор. За честотата на радиалните адиабатични пулсации получаваме израза

                                                                                      

                f 2   =  1/ρ. (∂ 2P/∂ r2     –      2.G.m / r3                                                      (5)

 

а периодът на пулсациите ще бъде T = 2π / f . Несъмнено, тези пулсации ще бъдат затихващи, ако липсва източник на енергия за тяхното непрекъснато подновяване.

            Подобна теория е развита за пулсирането на променливите звезди. При тях, амплитудата на трептене и скоростта на трептене са изключително големи [11], поради което е абсолютно задължително трептенията да имат еднаква амплитуда, честота и фаза в целия обем на звездата. При Слънцето, амплитудата на колебание на слънчевия диаметър е само няколко километра, а измененията на лъчевата скорост - няколко m/s, което е с около три порядъка по-малко спрямо пулсиращите звезди. Това позволява колебанията на отделните слоеве във вътрешността на Слънцето да се извършват с различна амплитуда, честота и фаза, както се дава от формула (5).

 

РЕЗУЛТАТИ. Периодът Т на радиалните пулсации за отделните слоеве на Слънцето може да се изчисли по формула (5). За целта предварително трябва да се намерят Р, ρ и m като функция на относителното разтояние у = r / R от центъра на Слънцето. Използвайки обобщения модел [10] и на основата на 16 цитирани стойности, за всяка една от тези величини намерихме регресионни изрази, представени в Таблица 1. Точността на тези изрази е добра, което се оценява по получените стойности на коефициента на корелация Kr, фактора на достоверност F и вероятностното тегло Pw.

 

Табл.1. Регресионни формули за плътността r и газовото налягане Р във вътрешността на Слънцето като функции на относителното отстояние x = r/ RО от центъра на Слънцето.  С m е означена масата на тази част от Слънцето, която се намира под концентричен слой с радиус r.  С RО и MО са означени радиусът и общата маса на Слънцето. Точността на регресионните формули се потвърждава от стойностите на коефициента на корелация Kr, фактора на достоверност F и вероятностното тегло Pw.

 

Регресионна формула

Kr          

F

Pw

m  =  M. (2.84 x - 1.70 x2 - 0.06)

0.991

52.1

4.10

P  = exp (38.94 - 24.68 x3 )   

0.92

6.08

0.0008

ρ  = exp ( 3.85 -17.36 x2 )     

0.942

8.28

0.00015

 

 

 

Фиг. 1.  Период T на радиалните пулсации във вътрешността на Слънцето като функция на относителното отстояние x = r/RО от центъра. RО е радиусът на Слънцето.

 

 Периодът на радиалните пулсации Т е показан на Фиг. 1 като функция на относителното отстояние х от центъра на Слънцето (пресметнат при стъпка x = 0.01)Както е известно, съобразно характера на физическите процеси протичащи във вътрешността на Слънцето, то се разделя на три зони; активно ядро, междинна зона и конвективна зона. Подобни три зони се открояват и на показаната фигура 1, които ще отбележим като вътрешна, междинна и външна зона.

В най-вътрешната зона (0 <x< 0.38)  трептенията са невъзможни, тъй като f2 < 0 и периодът на трептения ще клони към безкрайност. Може да се приеме, че вътре в тази зона пулсациите ще имат период равен на безкрайност. Тази зона съвпада с активната зона на Слънцето.

Навсякъде в средната зона (0.38 <x< 0.70) могат да възникнат пулсации с почти еднакъв период T от около 1000 s. Тази зона видимо съвпада с междинната зона на радиационен пренос на енергията вътре в Слънцето. На границата между активната и междинната зони периодът на пулсациите разте и клони към безкрайност (фиг. 1). Това е в съгласие с резултата, че вътре в активната зона трептенията са невъзможни. Това показва, че всяко едно много бавно пулсиране на повърхността на активната зона ще бъде трансформирано във високочестотно трептене, което ще се разпространява във вътрешността на средната зона. Това може би показва, че пулсациите се пораждат на това място, т.е., енергийният източник на пулсациите се намира на границата между активната и междинната зона. Физически това е допустимо, тъй като повърхността на активната зона трябва да се характеризира с висока нестабилност.

В третата, най-външна зона (0.70 <x< 1), съвпадаща с т.н. конвективна зона, периодът на пулсациите бавно разте и на самата повърхност на Слънцето достига до 8900 s. Тази стойност се отличава с около 8 % от експериментално установения период от 160 мин, което подкрепя справедливостта на представения модел. Също така, съвпадението на трите зони на фиг. 1 с реално съществуващите вътрешни зони в Слънцето предоставя допълнителна подкрепа за модела.

       Наличието на минимална стойност на периода T при относителна отдалеченост x = 0.6 може да се обясни по следния начин. При по-големи стойности на х отрицателният член в уравнение (5) е твърде малък и може да се пренебрегне. От тук, при по-голямо x честотата f зависи главно от плътността ρ и налягането P, които упражняват противоположно влияние върху f. С нарастване на x, ρ и P едновременно намаляват като първия параметър увеличава, а втория намалява f. Така, при разстояния x < 0.6 преобладава ефекта на плътността ρ, докато при x>0.6 ефектът на налягането P е по-силен и честотата започва да расте с приближаване към фотосферата

 

    ОБСЪЖДАНЕ НА РЕЗУЛТАТИТЕ. Според този модел, радиалните пулсации на Слънцето възникват като хармонични колебания на вътрешните слоеве, дължащи се на нарушаване на динамичното равновесие на силите. Енергийният източник на тези нарушения вероятно се намира на повърхността на активната зона, откъдето те се разпространяват навън със скоростта на звука. Скоростта на разпространение на звука С във вътрешните слоеве може да се пресметне по формулата C = (P/ρ)1/2, изпозвайки получените регресионни зависимости за налягането Р и плътността r на плазмата в отделните слоеве от Табл. 1 (не е дадено). Очевидно, произведението Т = λ ще бъде дължината на получената механична вълна λ. Замествайки получените стойности на Т и С се получава неочакваният и много интересен резултат, че дължината на вълната на тези механични пулсации ще бъде практически една и съща от мястото, където те възникват (повърхността на активната зона) до крайната точка на своето разпространение (повърхността на Слънцето), т.е.,  λ = Т . С ≈ const.

            Достигайки до повърхността на Слънцето, механичните пулсации със сигурност търпят пълно отражение от слънчевата атмосфера (хромосферата) без смяна на фазата и образуват стоящи вълни, тъй като условието за отражение и образуване на стоящи вълни (λ > 4π H ) при тези условия се изпълнява извънредно силно. В тази формула H е височината на еднородния слой (хромосферата), от който настъпва отражението. Тъй като λ е практически една и съща за отделните слоеве, стоящата вълна може да се образува не само непосредствено под хромосферата, но и на значителна дълбочина във вътрешните слоеве на Слънцето. Следователно, отразените от повърхността механични вълни няма да гасят идващите отдолу, а ще ги усилват. Образуваната по този начин стояща вълна може да засегне в силна степен всички физични процеси в близост до повърхността на Слънцето и да индуцира появата на една променлива компонента с период около 130 мин във техните параметри. Това може да обясни и посочената по-горе променлива компонента в параметрите на голям брой наблюдавани процеси, както и на самото пулсиране на видимия диаметър на Слънцето.

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

 

        1. Severny A. B., V. A. Kotov, T. T. Tsap. Nature (1976) Observations of solar pulsations. № 5539, v. 259, pp. 87-89

    2.     Scherrer P. H., J. M. Wilson (1983) Structure of the solar oscillations with period near 160 - minutes. Solar Phys., v.82, pp. 37-42

    3.     Kotov V. A., A. B. Severny, T. T. Tsap, I. G. Moiseev, V. A. Efanov, H. S. Nesterov. (1983) Manifestation of the 160-min solar oscillations in velocity and brightness (optical and radio observations).    Solar Physics, v. 82 pp. 9-19

    4.     Kotov V.A., S. Kouchmy, G. Kouchmy (1983) Observation of global 160 -min infrared (differential) intensity variation of the Sun. Solar Physics, v. 82, pp. 21-35

    5.     Efanov V. A., V. A. Kotov, I. G. Moiseev, N. S. Nesterov, A. B. Severny (1983) Reports of Krim astrophysical observatory, v. 67, pp. 111-118

    6.     Hill H. A., T. J. Boss, T. P. Candel (1983) On the origin of oscillations in a solar diameter observed through the Barth`s atmosphere: a terrestrial atmospheric or a solar phemomenon.  Solar Phisics, v. 82, pp. 129 - 138

    7.     Christensen - Dalsgaard J., S. Frandsen (1983) Radiative transfer and oscillations of the Sun. Solar Physics, v. 82, pp. 165-204

    8.     Dsiombovsky W. (1983) Resonant coupling between solar gravity modes. Solar Physics, v. 82, pp. 253-266

    9.     Blinnikov S. I., M. Yu. Khlopov (1983) Excitation of the solar oscillations by objects consisting of y-matter. Solar Physics, v. 82, pp. 383-385

   10. Allen C. W. (1973) Astrophysical Quantities. University of London. The Athlon Press.

   11. Дж. П. Кокс: Теория звездных пульсации. Москва, Мир, 1983